Các mô hình quy hoạch tuyến tính ứng dụng trong cuộc sống
Last updated: July 28, 2025 Xem trên toàn màn hình
Lập trình tuyến tính là một kỹ thuật toán học để tối ưu hóa các hoạt động dưới một tập hợp các ràng buộc nhất định. Mục tiêu cơ bản của quy hoạch tuyến tính là cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa tổng giá trị số. Nó được coi là một trong những chiến lược thiết yếu nhất để xác định việc sử dụng tài nguyên tối ưu. Những thách thức về lập trình tuyến tính bao gồm nhiều vấn đề khác nhau liên quan đến việc giảm thiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận, cùng nhiều vấn đề khác. Họ sẽ được thảo luận ngắn gọn trong bài viết này.
Mục đích của bài viết này là cung cấp sự hiểu biết toàn diện về các loại bài toán quy hoạch tuyến tính khác nhau và cách giải chúng.
Lập trình tuyến tính là gì?
Lập trình tuyến tính (LP) là một kỹ thuật tối ưu hóa toán học được sử dụng để tối đa hóa hoặc giảm thiểu hàm mục tiêu tuyến tính, tuân theo một tập hợp các ràng buộc đẳng thức tuyến tính và bất đẳng thức. Nó được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, nghiên cứu hoạt động và khoa học quản lý để tìm ra kết quả tốt nhất có thể với nguồn lực hạn chế.
Các thành phần của quy hoạch tuyến tính
Các thành phần của quy hoạch tuyến tính bao gồm:
- Hàm mục tiêu: Đây là hàm tuyến tính cần được tối ưu hóa (cực đại hóa hoặc cực tiểu). Nó đại diện cho số lượng được tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa, chẳng hạn như lợi nhuận, chi phí, thời gian, v.v.
- Các biến quyết định: Đây là các biến đại diện cho các lựa chọn hoặc quyết định sẽ được thực hiện. Chúng là những đại lượng chưa biết mà quá trình tối ưu hóa tìm cách xác định. Các biến quyết định phải liên tục và có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào trong một phạm vi xác định.
- Ràng buộc: Đây là những hạn chế hoặc giới hạn đối với các biến quyết định phải được thỏa mãn. Các ràng buộc có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình tuyến tính hoặc bất đẳng thức. Chúng đại diện cho những hạn chế do nguồn lực sẵn có, hạn chế về năng lực, yêu cầu về nhu cầu, v.v.
- Vùng khả thi: Vùng khả thi là tập hợp tất cả các tổ hợp có thể có của các biến quyết định thỏa mãn mọi ràng buộc. Nó được xác định bởi sự giao nhau của các ranh giới ràng buộc.
- Giải pháp tối ưu: Đây là giải pháp tốt nhất có thể nhằm cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm mục tiêu trong khi thỏa mãn mọi ràng buộc. Về mặt đồ họa, chính điểm trong vùng khả thi sẽ cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm mục tiêu.
Lập trình tuyến tính cung cấp một cách tiếp cận có hệ thống và hiệu quả để ra quyết định trong các tình huống mà nguồn lực bị hạn chế và các mục tiêu cần được tối ưu hóa.
Phân loại các bài toán quy hoạch tuyến tính
Sau đây là các loại bài toán quy hoạch tuyến tính:
- Vấn đề sản xuất
- Vấn đề về chế độ ăn uống
- Vấn đề vận chuyển
- Vấn đề căn chỉnh tối ưu
Hãy thảo luận thêm về từng người trong số họ.
Vấn đề sản xuất
Trong những bài toán này, chúng ta đánh giá số lượng đơn vị của các mặt hàng khác nhau mà một công ty nên sản xuất và bán khi mỗi sản phẩm yêu cầu một số lượng lực lượng lao động, số giờ máy, số giờ lao động nhất định trên một đơn vị sản phẩm, không gian kho trên một đơn vị sản phẩm, và v.v. để tối đa hóa lợi nhuận.
Các vấn đề về sản xuất liên quan đến việc tối đa hóa tốc độ sản xuất hoặc lợi nhuận ròng của các sản phẩm được sản xuất, có thể đo lường không gian làm việc sẵn có, số lượng công nhân, giờ máy, vật liệu đóng gói được sử dụng, nguyên liệu thô cần thiết, giá trị thị trường của sản phẩm và các yếu tố khác. Chúng thường được sử dụng trong lĩnh vực công nghiệp để dự đoán mức tăng vốn trong tương lai của công ty theo thời gian.
Vấn đề ăn kiêng
Trong những thử thách này, chúng tôi đánh giá một chế độ ăn nên chứa bao nhiêu thành phần hoặc chất dinh dưỡng để giảm chi phí cho chế độ ăn mong muốn trong khi vẫn đảm bảo lượng tối thiểu của mỗi loại vitamin.
Đúng như tên gọi, các vấn đề liên quan đến chế độ ăn kiêng có thể được giải quyết bằng cách ăn nhiều loại thực phẩm cụ thể hơn, giàu chất dinh dưỡng thiết yếu và có thể hỗ trợ việc áp dụng một kế hoạch ăn kiêng cụ thể. Tìm kiếm một nhóm bữa ăn đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng hàng ngày với số tiền ít nhất là mục tiêu của vấn đề ăn kiêng.
Vấn đề giao thông
Trong những vấn đề này, chúng tôi tạo ra một lịch trình vận chuyển để khám phá phương pháp hiệu quả nhất về chi phí để vận chuyển sản phẩm từ nhiều nhà máy/nhà máy khác nhau đến các thị trường khác nhau.
Nghiên cứu về các tuyến đường vận chuyển hoặc cách vận chuyển các mặt hàng từ các nguồn sản xuất khác nhau đến các thị trường khác nhau để giảm thiểu tổng chi phí vận chuyển có liên quan đến những khó khăn trong vận chuyển. Việc phân tích những thách thức như vậy là rất quan trọng đối với các công ty lớn có nhiều đơn vị sản xuất và cơ sở khách hàng rộng lớn.
Bài toán phân công tối ưu
Vấn đề này giải quyết việc công ty hoàn thành một nhiệm vụnhất định bằng cách chọn một số lượng nhân viên cụ thể để hoàn thành nhiệm vụ trong khung thời gian yêu cầu, giả định rằng mỗi người chỉ làm một công việc. Ví dụ, việc lập kế hoạch và quản lý sự kiện trong các tổ chức lớn là những ví dụ về những vấn đề như vậy.
Các ràng buộc và hàm mục tiêu của từng bài toán quy hoạch tuyến tính
|
Các loại bài toán quy hoạch tuyến tính |
Hàm mục tiêu |
Hạn chế |
|---|---|---|
|
Vấn đề sản xuất |
Năng suất |
Các biến số như chi phí vật liệu đóng gói và giờ làm việc |
|
Vấn đề ăn kiêng |
Chi phí thực phẩm tiêu thụ |
Yêu cầu dinh dưỡng cụ thể |
|
Vấn đề vận chuyển |
Chi phí vận chuyển |
Mô hình cung và cầu độc đáo |
|
Bài toán phân công tối ưu |
Tổng số nhiệm vụ đã hoàn thành |
Giờ làm việc của từng nhân viên và số lượng nhân viên. |
Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính
Bước 1: Xác định các biến quyết định
Bước đầu tiên là xác định các yếu tố lựa chọn nào kiểm soát hành vi của hàm mục tiêu. Hàm cần tối ưu là hàm mục tiêu. Xác định các biến quyết định và ký hiệu chúng bằng các ký hiệu X, Y và Z.
Bước 2: Hình thành hàm mục tiêu
Sử dụng các biến quyết định, viết biểu thức đại số biểu thị số lượng mà chúng ta muốn tối đa hóa.
Bước 3: Xác định ràng buộc
Chọn và viết các bất đẳng thức tuyến tính đã cho từ dữ liệu.
Bước 4: Vẽ đồ thị cho dữ liệu đã cho
Xây dựng đồ thị sử dụng các ràng buộc để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
Bước 5: Vẽ vùng khả thi
Mọi ràng buộc của bài toán đều được thỏa mãn bởi phần đồ thị này. Bất cứ nơi nào trong vùng khả thi đều là giải pháp khả thi cho hàm mục tiêu.
Bước 6: Chọn điểm tối ưu
Chọn điểm mà hàm số đã cho có giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Giải quyết vấn đề của vấn đề lập trình tuyến tính
Giải pháp:
Chúng ta xác định những điều chưa biết của mình:
Gọi số lượng đồ dùng thông thường được sản xuất mỗi ngày = x
và số lượng thiết bị cao cấp được sản xuất mỗi ngày = y
Hàm mục tiêu là
P = 20x + 30y
Bây giờ chúng ta viết các ràng buộc. Câu thứ tư nói rằng công ty có thể sản xuất tối đa 7 thiết bị một ngày. Điều này dịch là
x + y ≤ 7
Vì thiết bị thông thường yêu cầu một giờ lắp ráp và thiết bị cao cấp yêu cầu hai giờ lắp ráp và có tối đa 12 giờ dành cho thao tác này, chúng tôi nhận được
x + 2y ≤ 12
Tương tự, tiện ích thông thường yêu cầu hai giờ hoàn thiện và tiện ích cao cấp yêu cầu một giờ. Một lần nữa, có nhiều nhất là 12 giờ để hoàn thành. Điều này cho chúng ta những hạn chế sau đây.
2x + y ≤ 12
Việc x và y không bao giờ âm được thể hiện bằng hai ràng buộc sau:
x ≥ 0 và y ≥ 0.
Ta đã xây dựng bài toán như sau:
Tối đa hóa P=20x + 30y Tuân theo: x + y ≤ 7, x + 2y ≤ 122, x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Để giải quyết vấn đề, tiếp theo chúng ta vẽ đồ thị các ràng buộc và vùng khả thi.
Một lần nữa, chúng ta đã tô bóng vùng khả thi, nơi mọi ràng buộc đều được thỏa mãn.
Vì giá trị cực trị của hàm mục tiêu luôn xảy ra ở các đỉnh của vùng khả thi nên chúng ta xác định được tất cả các điểm tới hạn. Chúng được liệt kê là (0, 0), (0, 6), (2, 5), (5, 2) và (6, 0). Để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta sẽ thay thế những điểm này trong hàm mục tiêu để xem điểm nào mang lại cho chúng ta lợi nhuận tối đa mỗi ngày. Các kết quả được liệt kê dưới đây.
Câu hỏi thường gặp về lập trình tuyến tính
Có bao nhiêu phương pháp trong LPP?
Có nhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán quy hoạch tuyến tính. Chẳng hạn như phương pháp đồ họa, phương pháp Simplex, phương pháp Ellipsoid, phương pháp điểm bên trong.
4 trường hợp đặc biệt trong quy hoạch tuyến tính là gì?
Bốn trường hợp đặc biệt và khó khăn nảy sinh khi sử dụng phương pháp đồ thị để giải bài toán LP: (1) tính không khả thi, (2) tính không giới hạn, (3) tính dư thừa và (4) các giải pháp tối ưu thay thế.
3 thành phần của quy hoạch tuyến tính là gì?
Các thành phần cơ bản của LP như sau:
- Các biến quyết định.
- Hạn chế.
- Chức năng mục tiêu.
Ứng dụng của LPP là gì?
Các ứng dụng LPP có thể bao gồm lập kế hoạch sản xuất, chính sách tồn kho, danh mục đầu tư, phân bổ ngân sách quảng cáo, xây dựng kho bãi, v.v.
Những hạn chế của LPP là gì?
Các ràng buộc (hạn chế) phải được thể hiện dưới dạng toán học. Mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều biến phải tuyến tính. Giá trị của các biến phải luôn không âm hoặc bằng 0. Luôn phải có số lượng đầu vào và đầu ra hữu hạn và vô hạn.
Khám phá thêm các chủ đề sau
Đọc thêm: Hướng dẫn hợp tác viết bài (guest blogging)
Các chủ đề được quan tâm nhiều nhất
CHIA SẺ BÀI VIẾT
Mới cập nhật